Question

【題目】已知P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在，和中，若存在一個(gè)三角形與相似全等除外那么就稱(chēng)P為的共相似點(diǎn)”根據(jù)“共相似點(diǎn)“是否落在三角形的內(nèi)部，邊上或外部，可將其分為內(nèi)共相似點(diǎn)”，“邊共相似點(diǎn)或“外共相似點(diǎn)”．

據(jù)定義可知，等邊三角形______填“存在”或“不存在共相似點(diǎn)

（探究）用邊共相似點(diǎn)探究三角形的形狀

如圖1，若的一個(gè)邊共相似點(diǎn)P與其對(duì)角項(xiàng)點(diǎn)B的連線(xiàn)，將分割成的兩個(gè)三角形恰與原三角形均相似，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

（探究2）用內(nèi)共相似點(diǎn)探究三角形的內(nèi)角關(guān)系

如圖2，在中，，高線(xiàn)CD與角平分線(xiàn)BE交于點(diǎn)P，若P是的一個(gè)內(nèi)共相似點(diǎn)試說(shuō)明點(diǎn)E是的邊共相似點(diǎn)，并直接寫(xiě)出的度數(shù)；

（探究）探究直角三角形共相似點(diǎn)的個(gè)數(shù)

如圖3，在中，，，，若與相以，則滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)共有______個(gè)

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）是直角三角形；（3）；（4）的“共相似點(diǎn)”共有8個(gè)

【解析】

根據(jù)“共相似點(diǎn)”的定義容易得出結(jié)論；

根據(jù)題意得：∽，由相似三角形的性質(zhì)得出，同理得：，得出，求出即可；

根據(jù)題意得：∽，由相似三角形的性質(zhì)得出，，再由角平分線(xiàn)角平分線(xiàn)定義得出，證出∽，得出點(diǎn)E是的邊共相似點(diǎn)；由直角三角形的性質(zhì)得出，得出，求出；

通過(guò)作圖得出的“共相似點(diǎn)”共有8個(gè)，

根據(jù)“共相似點(diǎn)”的定義得：等邊三角形不存在共相似點(diǎn)．

故答案為：不存在；

是直角三角形，理由如下：

根據(jù)題意得：∽，

，

同理得：，

，

解得：，

是直角三角形；

根據(jù)題意得：∽，

，，

平分，

，

，

，

，，

∽，

點(diǎn)E是的邊共相似點(diǎn)；

是的高，

，

，

，

解得：；

作于P，則P為的“共相似點(diǎn)”；

過(guò)B作BC的垂線(xiàn)與CP的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)是的“共相似點(diǎn)”；

作的平分線(xiàn)與AC的交點(diǎn)是的“共相似點(diǎn)”；

過(guò)C作的垂線(xiàn)，垂足是的“共相似點(diǎn)”；

同理：以上四個(gè)的“共相似點(diǎn)”關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是的“共相似點(diǎn)”；

的“共相似點(diǎn)”共有8個(gè)，如圖所示：