Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C在⊙O上且， 連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若， CD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結OC，由，根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圓得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根據勾股定理求得AB，進而求得⊙O的半徑．

（1）證明：連結OC，如圖，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF，

∵CD⊥AF，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連結BC，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵=，

∴∠BOC=×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=4，

∴AC=2CD=8，

在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2 ，

即82+（AB）2=AB2 ，

∴AB=，

∴⊙O的半徑為．