Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為點E，交BD于F，cos∠ABC=，AB=13．

（1）求AE的長；

（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

【考點】解直角三角形；勾股定理．

【分析】（1）根據(jù)AE⊥BC，垂足為點E，交BD于F，cos∠ABC=，AB=13，可以求得BE的長，從而可以求得AE的長；

（2）根據(jù)在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，可知AE、BD為△ABC的中線，從而可以利用重心定理得到EF的長，由AE⊥BC，從而可以得到tan∠DBC的值．

【解答】解：（1）∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°．

∵，AB=13，

∴BE=5．

∵在Rt△BEA中，BE²+AE²=AB²，

∴．

（2）∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE是BC邊上的中線．

又∵BD是AC邊上的中線，

∴F是△ABC的重心．

∵AE=12，

∴．

∵Rt△BEF中，BE=5，EF=4，

∴tan∠DBC=．

【點評】本題考查解直角三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確直角三角形中邊角的關(guān)系，知道重心定理．