(1)證明:∵∠ACD=90°,CE⊥AD,
∴∠CED=90°,
∴∠CAD+∠CDA=90°,∠CDE+∠BCF=90°,
∴∠CAD=∠BCF,
∵BF∥AC,∠ACB=90°,
∴∠CBF=90°=∠ACD,
在△ACD和△CBF中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563574.png)
∴△ACD≌△CBF,
∴CD=BF,
∵D為BC的中點,
∴CD=BD,
∴BD=BF;
(2)解:AB垂直平分DF,
理由是:∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CBA=∠CAB=45°,
∵∠CBF=90°,
∴∠FBA=45°=∠CBA,
∵BD=BF,
∴AB垂直平分DF;
(3)解:設(shè)CD=BD=BF=x,
則AC=BC=2x,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376484.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
x,
在Rt△DBF中,由勾股定理得:DF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/240349.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
x,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25314.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563575.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1096.png)
.
分析:(1)求出∠CAD=∠BCF,∠CBF=∠ACD,證△ACD≌△CBF,推出CD=BF即可;
(2)求出∠CBA=∠FBA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可;
(3)設(shè)CD=BD=BF=x,得出AC=BC=2x,根據(jù)勾股定理求出AD、DF,即可得出答案.
點評:本題考查了勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰直角三角形,等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查了學(xué)生的推理能力,綜合性比較強,有一定的難度.