Question

【題目】如圖拋物線y＝x2+bx+c（c＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且OB＝OC＝3，點(diǎn)E為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥x軸于F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)E，使△ECF為直角三角形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）連接AC、BC，若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，∠PCB＝∠ACO，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)；（3）(，﹣)或(4，5)

【解析】

（1）易求得點(diǎn)B，C坐標(biāo)，即可求得b、c的值，即可解題；

（2）易求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得直線BD的解析式，根據(jù)∠CEF＝90°，即可求得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為﹣3，即可解題；

（3）存在2種情況：①∠PCB＝∠ACO，②∠P'CB＝∠ACO，可分別求得tan∠PCE的值，即可求得直線PC斜率，即可求得直線PC于拋物線交點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解題．

解：（1）∵OB＝OC＝3，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3），

∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，C，∴，

解得：c＝﹣3，b＝﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，﹣4），

∵直線BD經(jīng)過點(diǎn)B，D，設(shè)直線BD解析式為y＝kx+b，

則，

解得：k＝2，b＝﹣6，

∴直線BD解析式為y＝2x﹣6，

∵△ECF為直角三角形，

當(dāng)∠CEF＝90°時(shí)，E點(diǎn)縱坐標(biāo)和等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)，

∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為﹣3，

∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，﹣3）；

當(dāng)∠FCE＝90°時(shí)，

∵EF⊥x軸，所以易得△CFO∽FEC，

∴，即EFOC＝CF2，＝OF2+OC2，

設(shè)OF＝m，因此F的坐標(biāo)為（m，0）代入直線BD的方程y＝2x﹣6得E的坐標(biāo)為（m，2m﹣6），

∴EF＝6﹣2m，

∴（6﹣2m）×3＝m2+9，解得m＝3﹣3（負(fù)值舍去），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3﹣3，6﹣12）

綜上可得存在這樣的點(diǎn)E，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)．

（3）存在2種情況：

①∠PCB＝∠ACO，

∵∠BCE＝45°，

∴tan∠BCE＝1，

∵tan∠ACO＝，

∴tan∠PCB＝，

∴tan∠PCE＝tan（∠BCE﹣∠PCB）＝，

∵直線PC經(jīng)過點(diǎn)P，

∴直線PC解析式為：y＝x﹣3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：(，﹣)，

②∠P'CB＝∠ACO，

∵∠BCE＝45°，

∴tan∠BCE＝1，

∵tan∠ACO＝，

∴tan∠P'CB＝，

∴tan∠P'CE＝tan（∠BCE﹣∠P'CB）＝，

∵直線PC經(jīng)過點(diǎn)P，

∴直線PC解析式為：y＝2x﹣3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：(4，5)．