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12.如圖,四邊形ABCD為矩形,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接DF,DF=4,設(shè)AB=x,AD=y,求x2+(y-4)2的值.

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=x,BC=AD=y,然后利用直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDF=∠DBF,因此DF=BF=4,得出CF=4-y,由勾股定理求出DF2,即可得出所求代數(shù)式的值.

解答 解:由題意知:AB=CD=x,AD=BC=y,CD⊥BE,
∵BD⊥DE,
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°,
∵DF=EF,
∴∠E=∠FDE,
∴∠BDF=∠DBF,
∴DF=BF=4,
∴CF=4-y,
在Rt△CDF中,DF2=CD2+CF2=x2+(y-4)2=16.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);熟練掌握勾股定理,證出DF=BF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

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