Question

12．對于二次函數(shù)y=ax²+（b+1）x+（b-1），若存在實數(shù)x₀，使得當x=x₀，函數(shù)y=x₀，則稱x₀是函數(shù)y的一個不動點，
（1）當a=1，b=-2時，求函數(shù)y的不動點；
（2）對任意實數(shù)b，函數(shù)y恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定二次函數(shù)解析式為y=x²-x-3，根據(jù)x₀是函數(shù)y的一個不動點的定義，把（x₀，x₀）代入得x₀²-x₀-3=x₀，然后解此一元二次方程即可；
（2）根據(jù)x₀是函數(shù)y的一個不動點的定義得到ax₀²+（b+1）x₀+（b-1）=x₀，整理得ax₀²+bx₀+（b-1）=0，則根據(jù)判別式的意義得到△=b²-4a（b-1）＞0，即b²-4ab+4a＞0，把b²-4ab+4a看作b的二次函數(shù)，由于對任意實數(shù)b，b²-4ab+4a＞0成立，則（4a）²-4•4a＜0，然后解此不等式即可．

解答 解：（1）當a=1，b=-2時，二次函數(shù)解析式為y=x²-x-3，
把（x₀，x₀）代入得x₀²-x₀-3=x₀，解得x₀=-1或x₀=3，
所以函數(shù)y的不動點為-1和3；
（2）因為y=x₀，
所以ax₀²+（b+1）x₀+（b-1）=x₀，
即ax₀²+bx₀+（b-1）=0，
因為函數(shù)y恒有兩個相異的不動點，
所以此方程有兩個不相等的實數(shù)解，
所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0，
而對任意實數(shù)b，b²-4ab+4a＞0成立，
所以（4a）²-4•4a＜0，
解得0＜a＜1．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了閱讀理解能力和根的判別式的意義．