Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的OA邊在x軸正半軸上，點(diǎn)C，B在第一象限內(nèi)，∠AOC=60°，A（4，0），OC=2
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，線段CP與線段BP之和最短？請?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和CP+BP的值．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥OA，過B作BF⊥OA，先利用三角函數(shù)求出OE、CE的長度，從而得出C點(diǎn)縱坐標(biāo)坐標(biāo)，然后利用平行四邊形的性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′B交x軸于P，則此時(shí)線段CP與線段BP之和最短，即CP+BP=C′B，根據(jù)勾股定理得到BC′=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．于是得到CP+BP的最短距離是2$\sqrt{7}$，由于OE=1，PE=$\frac{1}{2}$BC=2，得到OP=1+2=3，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過C作CE⊥OA，過B作BF⊥OA，
由題意可得OA=4，∠AOC=60°，
∴OE=1，CE=$\sqrt{3}$，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，
∴B和C的縱坐標(biāo)相等，
∴B的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，
∵AF=1，
∵OA=4，
∴OF=5，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)坐標(biāo)是5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，$\sqrt{3}$）；

（2）如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，
連接C′B交x軸于P，則此時(shí)線段CP與線段BP之和最短，
即CP+BP=C′B，
∵BC∥OA，
∴∠BCC′=90°，CC′=2$\sqrt{3}$，BC=OA=4，
∴BC′=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴CP+BP的最短距離是2$\sqrt{7}$，
∵OE=1，PE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴OP=1+2=3，
∴P（3，0）．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．