Question

【題目】如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于，，三點(diǎn)，連接，．

（1）直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與，重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在軸上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱（點(diǎn)，，分別是點(diǎn)，，的對(duì)稱點(diǎn)）恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在該拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）,,；（2）；（3）存在點(diǎn)或，使關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在該拋物線上．

【解析】

（1）分別令y=0，x=0，代入，即可得到答案；

（2）由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且點(diǎn)在y軸上，軸，得，易得直線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，列出關(guān)于t的方程，即可求解；

（3）根據(jù)題意，平行于軸，平行于軸，，，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，分三種情況討論：①若、在拋物線上，②若、在拋物線上，③，不可能同時(shí)在拋物線上，即可得到答案．

（1）令y=0，代入，得，解得：，

令x=0，代入 ，得: y=3，

∴,,；

（2）∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且點(diǎn)在y軸上，

∴，

∵軸，

∴，

∴，

∴，

設(shè)直線的解析式為：，

把,，代入，得：，

∴，

∴直線的解析式為：，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，

∴，，

∴，解得：，（舍去），

∴；

（3）根據(jù)題意，平行于軸，平行于軸，，，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①若、在拋物線上，則

∴

∴

∵點(diǎn)O與O′關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱，即點(diǎn)P 是OO′的中點(diǎn)，

∴；

②若、在拋物線上，則，

解得：，

∴

同①可得：；

③，不可能同時(shí)在拋物線上，

綜上所述存在點(diǎn)或，使關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在該拋物線上．