Question

10．已知：如圖，正比例函數(shù)y₁=kx（k＞0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{6}{x}$的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，n）．
（1）①求k與n的值；②試?yán)�用函�?shù)圖象，直接寫出不等式kx-$\frac{6}{x}$＜0的解集；
（2）點(diǎn)B是x軸上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AB、BC，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)Q，在點(diǎn)B的移動過程中，是否存在點(diǎn)B，使得四邊形ABQC為菱形？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，n），在反比例函數(shù)y₂=$\frac{6}{x}$的圖象上，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，又由點(diǎn)C在正比例函數(shù)y₁=kx（k＞0）的圖象上，即可求得答案；
②直接利用圖象，即可求得不等式kx-$\frac{6}{x}$＜0的解集；
（2）分別從點(diǎn)B在x軸的正半軸與點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）①把點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，n）代入${y_2}=\frac{6}{x}$，
解得：n=3
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），
把點(diǎn)C（2，3）代入y₁=kx得：3=2k，
解得：k=$\frac{3}{2}$；

②由兩函數(shù)圖象可知，kx-$\frac{6}{x}$＜0的解集是：x＜-2或0＜x＜2；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在x軸的正半軸且AB=AC時，四邊形ABQC為菱形．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)Q關(guān)于直線BC對稱，
∴AC=QC，AB=QB，
∴AC=QC=AB=QB．
∴四邊形ABQC為菱形．
由（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)（2，3），
可求得：OC=$\sqrt{13}$，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-3），
∴OA=OC=$\sqrt{13}$，AC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=AB=2$\sqrt{13}$．
作AH⊥x軸于點(diǎn)H，則AH=3．
在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{（{2\sqrt{13}）}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{43}$，
又∵OH=2，
∴OB=BH-OH=$\sqrt{42}$-2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（{\sqrt{43}-2，\;0}）$，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸且AB=AC時，四邊形ABQC為菱形．作AT⊥x軸于點(diǎn)T，
同理可求得：$BT=\sqrt{{{（{2\sqrt{13}}）}^2}-{3^2}}=\sqrt{43}$，
又∵OT=2，
∴$OB=BT+OT=\sqrt{43}+2$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（{-\sqrt{43}-2，\;0}）$，
綜上，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（{\sqrt{43}-2，\;0}）$或$（{-\sqrt{43}-2，\;0}）$時，四邊形ABQC為菱形．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及菱形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．