Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AC上，將△ABD沿BD（對稱軸）翻折，點A落在點E處，連接AE，CE．

（1）如圖1，當∠AEC＝90°時，求證：CD＝AD；

（2）當點E落在BC邊所在直線上，且∠AEC＝60°時．

①猜想△BAE是什么三角形并證明；

②試求線段CD、AD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①△BAE是等邊三角形，見解析；②AD＝2CD，見解析

【解析】

（1）先由折疊判斷出∠AED＝∠DAE，進而根據(jù)∠AEC＝90°得出判斷出∠CED+∠AED＝90°，∠DAE+∠ACE＝90°，得出∠CED＝∠ACE，即可得出結(jié)論；

（2）①由折疊的性質(zhì)得出BE＝BA，再利用∠AEC＝60°即可得出結(jié)論；

②由折疊得出AD＝DE，∠BED＝∠BAC＝30°，然后由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝30°，進而得出DE＝2CD，即可得出結(jié)論．

解：（1）由折疊知，AD＝DE，

∴∠AED＝∠DAE，

∵∠AEC＝90°，

∴∠CED+∠AED＝90°，∠DAE+∠ACE＝90°，

∴∠CED＝∠ACE，

∴CD＝DE，

∵AD＝DE，

∴CD＝AD；

（2）①△BAE是等邊三角形，

理由：由折疊知，BE＝BA，

∴△ABE是等腰三角形，

∵點E落在BC邊所在直線上，且∠AEC＝60°，

∴△ABE是等邊三角形；

②AD＝2CD，理由：

由①知，△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE＝60°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠BAE＝30°，

由折疊知，AD＝DE，∠BED＝∠BAC＝30°，

在Rt△CDE中，∠BED＝30°，

∴DE＝2CD，

∴AD＝2CD．