Question

6．已知：拋物線y=-x²-2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
（1）求A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出拋物線簡(jiǎn)圖，求出S_△ACP；
（3）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限內(nèi)，當(dāng)△ACM的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)和△ACM的最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即y=0時(shí)，求出x的值，根據(jù)頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答；
（2）畫(huà)出圖形，根據(jù)S_△ACP=S_{長(zhǎng)方形AOEF}-S_△AOC-S_△PEC-S_△AFP，即可解答；
（3）由函數(shù)的解析式畫(huà)出大致圖象，當(dāng)-2＜x＜0或-3＜x≤-2時(shí)，如圖1、2，設(shè)△ACM的面積為S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y軸，就有ME=-x，OE=-x²-2x+3，由三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）；
（2）如圖1，

∵點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），
∴AO=3，OC=3，OP=4，
∴S_△ACP=S_{長(zhǎng)方形AOEF}-S_△AOC-S_△PEC-S_△AFP
=3×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×4×2
=3．
（3）設(shè)△ACM的面積為S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y軸
∴ME=-x，OE=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3，
∴y=0時(shí)，0=-x²-2x+3，
∴x₁=1，x₂=-3．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴OA=3．
如圖2，當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，

S₁=$\frac{（-x+3）（-{x}^{2}-2x+3）}{2}$-$\frac{（-{x}^{2}-2x+3-3）（-x）}{2}$-4.5，
=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$＜0，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值．
∴x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{27}{8}$；
∵-2＜x＜0，
x=-2時(shí)，S_最大=3
如圖3，當(dāng)-3＜x≤-2時(shí)，

S₂=$\frac{（-x+3）（-{x}^{2}-2x+3）}{2}$+$\frac{-x（3+{x}^{2}+2x-3）}{2}$-$\frac{9}{2}$，
=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴拋物線的開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)S隨x的增大而增大．
∴x=-2時(shí)，S_最大=3
∵$\frac{27}{8}$＞3，
∴x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△ACM最大=$\frac{27}{8}$．
∴M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
答：M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時(shí)，S_△ACM最大=$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用，分類(lèi)討論的運(yùn)用．解答時(shí)求出S與x的關(guān)系式是關(guān)鍵．