Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2－x＋與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)D(0，－)．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖1，P為直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBD的面積最大時(shí)，過(guò)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，M為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；

（3）在（2）問(wèn)的條件下，將得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，將△PBQ′沿直線BD平移，記平移中的△PBQ′為△P′B′Q″，在平移過(guò)程中，設(shè)直線P′B′與x軸交于點(diǎn)E，則是否存在這樣的點(diǎn)E，使得△B′EQ″為等腰三角形？若存在，求此時(shí)OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的表達(dá)式為；（2）的最小值為；（3）或或或.

【解析】分析：（1）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BD于點(diǎn)F, 設(shè)點(diǎn) ，則,表示出的長(zhǎng)度，根據(jù)，構(gòu)建出二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

分三種情況進(jìn)行討論即可.

詳解：（1）

、、

設(shè)直線AC的表達(dá)式為，將、代入解析式：

可得 則直線AC的表達(dá)式為 ；

（2）可得直線BD的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BD于點(diǎn)F,

設(shè)點(diǎn) ，則.

，

.

當(dāng)，即時(shí)，最大；

則，過(guò)點(diǎn)P作對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為點(diǎn)，可得

作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交軸與點(diǎn)，

再過(guò)點(diǎn)作對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為點(diǎn)，即、為所求點(diǎn)．

此時(shí)

，則最小值為 ；

（3）當(dāng)時(shí)，或

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.