Question

8．如圖，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=$\frac{1}{4}OA=\sqrt{2}$，AB=3，∠OAB=45°，E，F(xiàn)分別是線段OA，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°，若△AEF為等腰三角形，則OE的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或3$\sqrt{2}$或3．

Answer 1

分析 因?yàn)椤鰽EF為等腰三角形，所以要分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖1，根據(jù)△AGB是直角三角形及斜邊AB=3可求AG的長(zhǎng)，即BG的長(zhǎng)，從而求出AE的長(zhǎng)，相減即可得出OE；
②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖2，AE=BD=$\sqrt{2}$，則OE=OA-AE即可；
③當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖3，證明△ODE是等腰三角形，再求OD的長(zhǎng)，就是OE的長(zhǎng)．

解答 解：當(dāng)△AEF為等腰三角形，存在3種情況：
①當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥x軸于G，則△AGB是直角三角形，
∵BD=$\frac{1}{4}OA=\sqrt{2}$，
∴OA=4$\sqrt{2}$，
∵∠OAB=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
則四邊形DEGB是平行四邊形，
∵AB=3，
∴AG=BG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=AG+EG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴OE=OA-AE=4$\sqrt{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖2，
∵∠OAB=45°，
∴∠EFA=∠OAB=45°，
∴∠FEA=90°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEO=180°-90°-45°=45°，
∴∠DEO=∠OAB，
∴DE∥AB，
∵BC∥OA，
∴四邊形DEAB是平行四邊形，
∴AE=BD=$\sqrt{2}$，
∴OE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；
③當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖3，
∵∠OAB=45°，
∴∠FEA=67.5°，
∵∠DEF=45°，
∴∠OED=180°-45°-67.5°=67.5°，
由（1）得：AG=BG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=OA-AG-BD=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=OC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△COD是等腰直角三角形，則OD=$\sqrt{2}$CD=3，
∴∠COD=45°，
∴∠DOE=45°，
∴∠ODE=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠ODE=∠OED，
∴OD=OE=3
綜上所述：OE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或3$\sqrt{2}$或3．

點(diǎn)評(píng) 本題是等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的性質(zhì)及判定，當(dāng)三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，要分三種情況討論，與坐標(biāo)、圖形相結(jié)合，利用線段的和與差求線段的長(zhǎng)．