Question

直角梯形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=，點E是一腰CD的中點，BE的延長線于AD的延長線交于點F．
（1）求證：△BCE≌△FDE；
（2）連接BD，CF，判斷四邊形BCFD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)AB=______時，BF⊥CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)DE=EC，AF∥BC，得出內(nèi)錯角相等，證明△BCE≌△FDE；
（2）由（1）的結(jié)論可判斷BC∥DF且BC=DF，從而得出四邊形BCDF為平行四邊形；
（3）當(dāng)BC=BD=時，?BCFD為菱形，就可得出BF⊥CD，再用勾股定理求AB．
解答：解：（1）∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
又DE=EC，
∴△BCE≌△FDE；

（2）四邊形BCDF為平行四邊形．
理由：∵△BCE≌△FDE，
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四邊形BCDF為平行四邊形；

（3）當(dāng)BC=BD=時，由菱形的判定定理，可判斷?BCFD為菱形，
由菱形的性質(zhì)得BF⊥CD，
由勾股定理，得AB===2．
故答案為2．
點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用梯形上下兩底的平行關(guān)系及中點，證明兩個三角形全等．