Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是直線(xiàn)CE下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H且與y軸平行的直線(xiàn)與BC，CE分別相交于點(diǎn)F，G，試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)K為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQKM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）H（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接確定出拋物線(xiàn)解析式；

（2）先求出直線(xiàn)BC的解析式，進(jìn)而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出；

（3）利用對(duì)稱(chēng)性找出點(diǎn)P，Q的位置，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣5上，

∴，

解得，

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝x2﹣4x﹣5，

（2）設(shè)H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5，

∵E在拋物線(xiàn)上，

∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，

∴x＝0（舍）或x＝4，

∴E（4，﹣5），

∴CE＝4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF＝CEHF＝﹣2（t﹣）2+，

∴H（，﹣）；

（3）如圖2，

∵K為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，

∴K（2，﹣9），

∴K關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線(xiàn)上，

∴M（4，﹣5），

∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'（4，5），

∴直線(xiàn)K'M'的解析式為y＝，

∴P（，0），Q（0，﹣）．