Question

【題目】如圖，△ABC是定圓O的內(nèi)接三角形，AD為△ABC的高線，AE平分∠BAC交⊙O于E，交BC于G，連OE交BC于F，連OA，在下列結(jié)論中，①CE=2EF，②△ABG∽△AEC，③∠BAO=∠DAC，④ 為常量．其中正確的有 ．

Answer 1

【答案】②，③，④
【解析】解：∵∠BCE的度數(shù)不一定為30°， ∴Rt△CEF中，CE=2EF不一定成立，故①錯誤；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAG=∠EAC，
又∵∠ABG=∠AEC，
∴△ABG∽△AEC，故②正確；
如圖所示，延長AO交⊙O于點H，連接BH，

∵AH是⊙O直徑，AD⊥BC，
∴∠ABH=90°，∠ADC=90°，
∴∠H+∠BAH=90°，∠C+∠ACD=90°，
∵∠H=∠ACD，
∴∠BAH=∠DAC，故③正確；
∵∠BAH=∠DAC，∠ABH=∠ADC，
∴△ABH∽△ADC，
∴ = ，即AH= ，
又∵AH為常量，
∴ 為常量，故④正確；
故答案為：②，③，④．
根據(jù)圓周角定理以及相似三角形的判定方法，即可得出△ABG∽△AEC，△ABH∽△ADC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．