Question

8．如圖，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DE⊥AB，則cosA的值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定以及三角形內(nèi)角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再證明△BCE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式$\frac{CE}{BC}$=$\frac{BE}{AC}$，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函數(shù)定義求出cosA的值．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，
∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
設(shè)AE=x，則BE=BC=x，EC=4-x．
在△BCE與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠BAC=36°}\\{∠C=∠ABC=72°}\end{array}\right.$，
∴△BCE∽△ABC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{BE}{AC}$，即$\frac{4-x}{x}$=$\frac{x}{4}$，
解得x=-2±2$\sqrt{5}$（負(fù)值舍去），
∴AE=-2+2$\sqrt{5}$．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2}{-2+2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．證明△BCE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．