Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0），根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）寫出方程ax2+bx+c＝0的根；

（2）寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；

（3）寫出y隨x的增大而減少時自變量x的取值范圍；

（4）若方程ax2+bx+c＝k有實數(shù)根，寫出實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1；（2）x＜﹣3或x＞1；（3）y隨x的增大而減少時x＜﹣1；（4）當(dāng)k≥﹣3時，方程ax2+bx+c＝k有實數(shù)根．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是二次方程的兩個實數(shù)根，可直接得結(jié)論；

（2）觀察圖象，在x軸上方的部分y總大于0；

（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，確定對稱軸方程，結(jié)合圖象得結(jié)論；

（4）利用待定系數(shù)法先確定a、b、c的值，根據(jù)根的判別式得不等式，解不等式得結(jié)論．

（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0），

∴ax2+bx+c＝0的根為：x1＝﹣3，x2＝1．

（2）因為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0），

觀察圖象可知：當(dāng)x＜﹣3或x＞1時，圖象總在x軸的上方．

所以不等式ax2+bx+c＞0的解集為：x＜﹣3或x＞1．

（3）因為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0），

所以該圖象的對稱軸為直線x＝﹣1

由于圖象開口向上

所以當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而減小．

即y隨x的增大而減少時x＜﹣1．

（4）拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（-1，-3），且過A（-3，0）、B（1，0），

所以

解得

所以拋物線的解析式為y=．

∵方程ax2+bx+c=k有實數(shù)根，

即=k有實數(shù)根．

∴△===3k+9≥0，

∴k≥-3．

即當(dāng)k≥-3時，方程ax2+bx+c=k有實數(shù)根．