Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，將直角三角形的直角頂點放在點P（4，4）處，兩直角邊與坐標軸交于點A和點B．
（1）求OA+OB的值；
（2）將直角三角形繞點P逆時針旋轉，兩直角邊與坐標軸交于點A和點B，求OA-OB的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，則∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，求出∠NPB=∠MPA，PM=PN=4，根據ASA推出△PBN≌△PAM，即可得出答案；
（2）如圖2，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，求出△PBN≌△PAM，根據全等得出AM=BN，求出OA-OB=OM+ON，代入求出即可．

解答 解：（1）如圖1，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，

則∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，
∵∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM，
∵P（4，4），
∴PM=PN=ON=OM=4，
在△PBN和△PAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠PMA}\\{PN=PM}\\{∠NPB=∠MPA}\end{array}\right.$
∴△PBN≌△PAM（ASA），
∴PA=PB，BN=AM，
∴OA+OB=OM+AM+OB=OM+OB+ON=4+4=8；

（2）如圖2，過P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，

則∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，
∵∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM，
∵P（4，4），
∴PM=PN=4，
在△PBN和△PAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠PMA}\\{PN=PM}\\{∠NPB=∠MPA}\end{array}\right.$，
∴△PBN≌△PAM（ASA），
∴PA=PB，AM=BN，
∴OA-OB=（OM+AM）-（BN-ON）=OM+ON=4+4=8．

點評 本題考查了坐標與圖形性質，全等三角形的性質和判定的應用，能正確作出輔助線并求出△PBN≌△PAM是解此題的關鍵．