Question

15．如圖，已知函數y=-$\frac{1}{2}$x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與函數y=x的圖象交于點M，點M的橫坐標為2，在x軸上有一點P（a，0）（其中a＞2），過點P作x軸的垂線，分別交函數y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=x的圖象于點C、D．
（1）求點M的坐標；
（2）求點A的坐標；
（3）若OB=CD，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將x=2代入y=x中求出y值，由此即可得出點M的坐標；
（2）根據點M的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式，再將y=0代入一次函數解析式中求出x值，由此即可得出點A的坐標；
（3）將x=0代入一次函數解析式求出y值，由此即可得出點B的坐標，進而可得出CD=OB=3，再根據一次函數解析式上點的坐標特征即可得出點C、D的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）∵點M在直線y=x的圖象上，且點M的橫坐標為2，
∴y=x=2，
∴點M的坐標為（2，2）．
（2）把M（2，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b得：-1+b=2，
解得：b=3，
∴一次函數的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
當y=-$\frac{1}{2}$x+3=0時，x=6，
∴A點坐標為（6，0）．
（3）當x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x+3=3，
∴點B的坐標為（0，3），
∴OB=3．
∵CD=OB，
∴CD=3．
∵PC⊥x軸，
∴點C的坐標為（a，-$\frac{1}{2}$a+3），點D的坐標為（a，a），
∴CD=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=3，
∴a=4．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及兩點間的距離，解題的關鍵是：（1）將x=2代入y=x中求出y值；（2）根據點M的坐標利用待定系數法求出一次函數解析式；（2）根據兩點間的距離列出關于a的一元一次方程．