Question

12．如圖，⊙O中，PC切⊙O于點(diǎn)C，連PO交于⊙O點(diǎn)A、B，點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)，連PF，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD=2，CD=4，則PF：DF的值是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． 5：3
• D． 4：3

Answer 1

分析 連接AC、OC、OF、BC．由△ADC∽△CDB，推出$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{DB}$，求出DB、OA、OD，由△ODC∽△OCP，推出$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OC}{OP}$，推出OC²=OD•OP，推出OF²=OD•OP，即$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OP}{OF}$，由∠DOF=∠POF，推出△DOF∽△FOP，可得$\frac{PF}{DF}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{5}{3}$．

解答 解：連接AC、OC、OF、BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{DB}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{DB}$，
∴DB=8，OA=OB=5，OD=3，
∵PC是切線，
∴OC⊥PC，
∵∠DOC=∠POC，∠ODC=∠OCP，
∴△ODC∽△OCP，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴OC²=OD•OP，
∴OF²=OD•OP，
∴$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OP}{OF}$，∵∠DOF=∠POF，
∴△DOF∽△FOP，
∴$\frac{PF}{DF}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{5}{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．