【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O是△ABC的外接圓,點D是上一點,過點C作⊙O的切線PC,直線PC交BA的延長線于點P,交BD的延長線于點E.
(1)求證:∠PCA=∠PBC;
(2)若PC=8,PA=4,∠ECD=∠PCA,以點C為圓心,半徑為5作⊙C,試判斷⊙C與直線BD的位置關(guān)系.
【答案】(1)證明見解析;(2)相交,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PCA=∠BCO,由OB=OC可得∠PBC=∠BCO,進一步即得結(jié)論;
(2)先證明△PCA∽∠PBC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AB的長和的值,進而可由勾股定理求得AC與BC的長,然后再證明△ABC∽△CBE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得圓心O到BD的距離,再與圓的半徑比較即得結(jié)論.
解:(1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∵PC是⊙O的切線,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠ACO=90°,
∴∠PCA=∠BCO,
∵OC=OB,
∴∠PBC=∠BCO,
∴∠PCA=∠PBC;
(2)∵∠PCA=∠PBC,∠P=∠P,
∴△PCA∽∠PBC,
∴,即,
∴AB=12,,
∴設(shè)AC=k,BC=2k,則AB==12,
∴k=,
∴AC=,BC=,
∵∠DCE=∠PCA,
∴∠DCE=∠ABC,
∵∠CDE=∠BAC,∠BAC+∠ABC=90°,
∴∠DCE+∠CDE=90°,
∴∠CED=90°,
∴CE⊥BD,
∴OC∥BE,
∴∠BCO=∠CBE=∠CBO,
∴△ABC∽△CBE,
∴,∴ ,
解得:CE=,即圓心O到BD的距離為,
∵⊙C的半徑為5,5>,
∴⊙C與直線BD的位置關(guān)系是相交.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,F為AB上一點,E是BC延長線上一點,且AF=EC,連結(jié)EF,DE,DF,M是FE中點,連結(jié)MC,設(shè)FE與DC相交于點N.則4個結(jié)論:①DE=DF;②∠CME=∠CDE;③DG2=GN GE;④若BF=2,則正確的結(jié)論有( )個.
A.4B.3C.2D.1
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,反比例函數(shù) y x 0 的圖象經(jīng)過點 A2,3 ,直線y ax , y 與反比例函數(shù) y x 0 分別交于點 B,C兩點.
(1)直接寫出 k 的值 ;
(2)由線段 OB,OC和函數(shù) y x 0 在 B,C 之間的部分圍成的區(qū)域(不含邊界)為 W.
① 當(dāng) A點與 B點重合時,直接寫出區(qū)域 W 內(nèi)的整點個數(shù) ;
② 若區(qū)域 W內(nèi)恰有 8個整點,結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出 a的取值范圍 .
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【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2﹣bx的圖象可能是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,其中點B的坐標(biāo)為B(4,0),拋物線的對稱軸交x軸于點D,CE∥AB,并與拋物線的對稱軸交于點E.現(xiàn)有下列結(jié)論:①a>0;②b>0;③4a+2b+c<0;④AD+CE=4.其中所有正確結(jié)論的序號是( 。
A.①②B.①③C.②③D.②④
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【題目】已知拋物線交x軸于A,B兩點(A在B右邊),A(3,0),B(1,0)交y軸于C點,C(0,3),連接AC;
(1)求拋物線的解析式;
(2)P為拋物線上的一點,作PE⊥CA于E點,且CE=3PE,求P點坐標(biāo);
(3)將原拋物線向上平移1個單位拋物線的對稱軸交x軸于H點,過H作直線MH,NH,當(dāng)MH⊥NH時,求MN恒過的定點坐標(biāo).
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【題目】身高1.65米的兵兵在建筑物前放風(fēng)箏,風(fēng)箏不小心掛在了樹上.在如圖所示的平面圖形中,矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前點B處,風(fēng)箏掛在建筑物上方的樹枝點G處(點G在FE的延長線上).經(jīng)測量,兵兵與建筑物的距離BC=5米,建筑物底部寬FC=7米,風(fēng)箏所在點G與建筑物頂點D及風(fēng)箏線在手中的點A在同一條直線上,點A距地面的高度AB=1.4米,風(fēng)箏線與水平線夾角為37°.
(1)求風(fēng)箏距地面的高度GF;
(2)在建筑物后面有長5米的梯子MN,梯腳M在距墻3米處固定擺放,通過計算說明:若兵兵充分利用梯子和一根米長的竹竿能否觸到掛在樹上的風(fēng)箏?
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】某中學(xué)的一個數(shù)學(xué)興趣小組在本校學(xué)生中開展了主題為“霧霾知多少”的專題調(diào)查括動,采取隨機抽樣的方式進行問卷調(diào)查,問卷調(diào)查的結(jié)果分為“A.非常了解”、“B.比較了解”、“C.基本了解”、“D.不太了解”四個等級,將所得數(shù)據(jù)進行整理后,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請你結(jié)合圖表中的信息解答下列問題
等級 | A | B | C | D |
頻數(shù) | 40 | 120 | 36 | n |
頻率 | 0.2 | m | 0.18 | 0.02 |
(1)表中m= ,n= ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,A部分所對應(yīng)的扇形的圓心角是 °,所抽取學(xué)生對丁霧霾了解程度的眾數(shù)是 ;
(3)若該校共有學(xué)生1500人,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計這些學(xué)生中“比較了解”人數(shù)約為多少?
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