Question

3．探索：
（x-1）（x+1）=x²-1         （x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1    （x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（1）試求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值；
（2）試猜想2²⁰¹⁵的個(gè)位數(shù)是多少，并說(shuō)明理由；
（3）判斷2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的個(gè)位數(shù)是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)材料得出2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+1=2⁷-1⁷，求出即可；
（2）求出2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，…，得出規(guī)律，即可得出答案；
（3）根據(jù)材料得出原式=2²⁰¹⁶-1，求出2²⁰¹⁶的個(gè)位數(shù)字即可．

解答 解：（1）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1
=（2-1）×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）
=2⁷-1⁷
=127；

（2）2²⁰¹⁵的個(gè)位數(shù)是8，
理由是：∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，…，
2015÷4=503…3，
∴2²⁰¹⁵的個(gè)位數(shù)是8；

（3）2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1
=（2-1）×（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁶-1²⁰¹⁶
∵由（2）知：2²⁰¹⁶的個(gè)位數(shù)字是6，
∴2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的個(gè)位數(shù)字是5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平方差公式的應(yīng)用，能根據(jù)材料得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．