Question

11．已知關(guān)于x的方程（k²-1）x²+（2k+1）x+1=0．
（1）若方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根，求k的值，并求此時方程的根．

Answer 1

分析 （1）分k²-1=0和k²-1≠0考慮，當(dāng)k²-1=0時求出k值，將其代入原方程解之即可得出方程有解；當(dāng)k²-1≠0時，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．綜上即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁、x₂，根據(jù)根的判別式結(jié)合x₁、x₂互為相反數(shù)即可得出關(guān)于k的分式方程，解之即可得出k的值，將k值代入原方程后解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①當(dāng)k²-1=0時，k=±1，
當(dāng)k=1時，原方程為3x+1=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$；
當(dāng)k=-1時，原方程為-x+1=0，解得：x=1；
②當(dāng)k²-1≠0，即k≠±1時，△=（2k+1）²-4（k²-1）=4k+5≥0，
解得：k≥-$\frac{5}{4}$，
∴k≥-$\frac{5}{4}$且k≠±1．
綜上所述，k≥-$\frac{5}{4}$時，方程有實數(shù)根．
（2）設(shè)方程的兩根為x₁、x₂，
∵方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{{k}^{2}-1}$=0，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
經(jīng)檢驗可得出k=-$\frac{1}{2}$是分式方程-$\frac{2k+1}{{k}^{2}-1}$=0的解．
當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時，原方程為-$\frac{3}{4}$x²+1=0，
解得：x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時，方程有兩個互為相反數(shù)的實數(shù)根，此時方程的根為x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系得出方程及不等式是解題的關(guān)鍵．