Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=，矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD．點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A，E，D．

（1）判斷點(diǎn)E是否在y軸上，并說明理由；

（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在x軸的上方是否存在點(diǎn)P，點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O，B，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）在；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1（-，2），Q2（，2）；當(dāng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3（-，2），Q4（，2）．

【解析】

（1）可連接OA，通過證∠AOE=60°，即與旋轉(zhuǎn)角相同來得出OE在y軸上的結(jié)論．

（2）已知了AB，OB的長(zhǎng)即可求出A的坐標(biāo)，在直角三角形OEF中，可用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，也就能求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，要想得出拋物線的解析式還少D點(diǎn)的坐標(biāo)，可過D作x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形，根據(jù)OD的長(zhǎng)和∠DOx的正弦和余弦值來求出D的坐標(biāo)．

求出A、E、D三點(diǎn)坐標(biāo)后即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（3）可先求出矩形的面積，進(jìn)而可得出平行四邊形OBPQ的面積．由于平行四邊形中OB邊的長(zhǎng)是定值，因此可根據(jù)平行四邊形的面積求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)（由于P點(diǎn)在x軸上方，因此P的縱坐標(biāo)為正數(shù)），然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線中可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后，將P點(diǎn)分別向左、向右平移OB個(gè)單位即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)和四個(gè)Q點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）點(diǎn)E在y軸上

理由如下：

連接AO，如圖所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=，

∴AO=2∴sin∠AOB=，∴∠AOB=30°

由題意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°

∵點(diǎn)B在x軸上，∴點(diǎn)E在y軸上．

（2）過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，

∵OD=1，∠DOM=30°

∴在Rt△DOM中，DM=，OM=

∵點(diǎn)D在第一象限，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)

由（1）知EO=AO=2，點(diǎn)E在y軸的正半軸上

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，1）

∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)E，

∴c=2

由題意，將A（-，1），D（，）代入y=ax2+bx+2中，

得

解得

∴所求拋物線表達(dá)式為：y=-x2-x+2

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)Q．

理由如下：∵矩形ABOC的面積=ABBO=

∴以O，B，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為2．

由題意可知OB為此平行四邊形一邊，

又∵OB=

∴OB邊上的高為2

依題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2）

∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2-x+2上

∴-m2-m+2=2

解得，m1=0，m2=-

∴P1（0，2），P2（-，2）

∵以O，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴PQ∥OB，PQ=OB=，

∴當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1（-，2），Q2（，2）；

當(dāng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3（-，2），Q4（，2）．