Question

15．如圖，正方形ABCD中，AC、BD交于點O，點M是AC上任意一點，ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，求證：△OEF是等腰三角形．

Answer 1

分析 由正方形ABCD中，ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，易得四邊形BEMF是矩形，△CFM是等腰直角三角形，繼而證得△OBE≌△OCF（SAS），則可證得結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠ABC=90°，
∵ME⊥AB，MF⊥BC，
∴∠MEB=∠MFB=90°，
∴四邊形BEMF是矩形，△CFM是等腰直角三角形，
∴BE=FM，F(xiàn)C=FM，
∴BE=CF，
在△OBE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，
即△OEF是等腰三角形．

點評 此題考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質．注意證得四邊形BEMF是矩形，△CFM是等腰直角三角形是關鍵．