Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，若橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若一個多邊形的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，則稱為格點(diǎn)多邊形．記格點(diǎn)多邊形的面積為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為n，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為l，例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對應(yīng)的S=1，n=0，l=4．奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=n+al+b，其中a，b為常數(shù)．
（1）利用圖中條件求a，b的值；
（2）若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的n=20，l=15，求S的值；
（3）在圖中畫出面積等于5的格點(diǎn)直角三角形PQR．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)格點(diǎn)多邊形的面積S=N+aL+b，結(jié)合圖中的格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG，建立方程組，求出a，b即可求得S；
（2）將n、l的值代入（1）中代數(shù)式求值即可；
（3）利用（1）中的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行解答．

解答 解：（1）根據(jù)題意，可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=1}\\{1+6a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴S=n+$\frac{1}{2}$l-1；
（2）將n=20、l=15代入可得S=20+$\frac{1}{2}$×15-1=26.5；
（3）如圖，
．

點(diǎn)評 此題考查格點(diǎn)圖形的面積變化與多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界格點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，從簡單情況分析，找出規(guī)律解決問題．