5.如圖,在正方形ABCD中,點P是AB的中點,連接DP,過點B作BE⊥DP的延長線于點E,連接AE,過點A作AF⊥AE,AF交DP于點F,連接BF、CF.下列結(jié)論:
①△ABE≌△ADF;②FB=AB;③FC=EF;④BF⊥AF;⑤PF=EP+EB.
其中正確的命題個數(shù)有( 。
A.2個B.3個C.4個D.5個

分析 根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)推出∠EAB=∠DAF,∠EBA=∠ADP,AB=AD,證△ABE≌△ADF即可判斷①;取EF的中點M,連接AM,推出AM=MF=EM=DF,證∠AMB=∠AMB,BM=BM,AM=MF,推出△ABM≌△FBM即可判斷②④;求出∠FDC=∠EBF,推出△BEF≌△DFC即可判斷③;證明△AMP≌△BEP,利用線段和差即可判斷⑤,可得出答案.

解答 解:
∵正方形ABCD,BE⊥ED,EA⊥FA,
∴AB=AD=CD=BC,∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF,
∵∠APD=∠EPB,
∴∠EAB=∠DAF,∠EBA=∠ADP,
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠EBA=∠ADF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF(ASA),
故①正確;
∴AE=AF,BE=DF,
∴∠AEF=∠AFE=45°,
如圖,取EF的中點M,連接AM、BM,
∴AM⊥EF,AM=EM=FM,
∴BE∥AM,
∵P為AB中點,
∴AP=BP,
∴AM=BE=DF,
∴∠EMB=∠EBM=45°,
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠AMB,
在△ABM和△FBM中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△FBM(SAS),
∴AB=BF,
故②正確;
∴∠BAF=∠BFA,
∴∠BFA≠90°,
故④不正確;
∴∠BAM=∠BFM,
∵∠BEF=90°,AM⊥EF,
∴∠BAM+∠APM=90°,∠EBF+∠EFB=90°,
∴∠APF=∠EBF,
∵AB∥CD,
∴∠APD=∠FDC,
∴∠EBF=∠FDC,且BE=DF,BF=CD,
在△BEF和△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBF=∠DFC}\\{BF=DC}\end{array}\right.$
∴△BEF≌△DFC(SAS),
∴CF=EF,
故③正確;
在△AMP和△BEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠BPE}\\{∠AMP=∠BEP}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△AMP≌△BEP(AAS),
∴AM=BE=MF,PM=PE,
∴PF=PM+ME=PE+AM=PE+BE,
故⑤正確;
綜上可知正確的結(jié)論有①②③⑤,共四個,
故選C.

點評 本題主要考查對正方形的性質(zhì),等腰直角三角形,直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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15.如圖,已知AB∥CD,若∠C=40°,∠E=20°,求∠A的度數(shù).

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16.下列計算正確的是(  )
A.a3+a2=a5B.(a-b)2=a2-b2C.a6b÷a2=a3bD.(-ab32=a2b6

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13.如圖,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.
(1)AE與FC會平行嗎?說明理由;
(2)AD與BC的位置關(guān)系如何?為什么?
(3)BC平分∠DBE嗎?為什么.

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20.直線y=$\frac{1}{2}$x+b與函數(shù)y=x2+|2x2-1|的圖象有且只有三個交點,則b的值為$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

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10.以下是某市自來水價格調(diào)整表:
自來水價格調(diào)整表(部分) 單位:元/立方米
     用水類別現(xiàn)行水價擬調(diào)整后水價
一、居民生活用水 0.72
  1.一戶一表
第一階梯:月用水量在    0~30立方米/戶  0.82
第二階梯:月用水量超過  30立方米/戶  1.23
  2.集體表
則AC調(diào)整水價后某戶居民月用水量x(立方米)與應(yīng)交水費y(元)的函數(shù)圖象是( 。
A.B.C.D.

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17.如圖,已知AB∥CD,∠1=60°,則∠2=120度,∠3=60度.

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14.如圖①,C地位于A,B兩地之間,甲步行直接從C地前往B地;乙騎自行車由C地先回A地,再從A地前往B地(在A地停留時間忽略不計).已知兩人同時出發(fā)且速度不變,乙的速度是甲的2.5倍.設(shè)出發(fā)x min后甲、乙兩人離C地的距離分別為y1 m、y2 m,圖②中線段OM表示y1與x的函數(shù)圖象.

(1)甲的速度為80 m/min,乙的速度為200 m/min;
(2)在圖②中畫出y2與x的函數(shù)圖象;
(3)求甲乙兩人相遇的時間;
(4)在上述過程中,甲乙兩人相距的最遠(yuǎn)距離為960m.

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7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的(  )
A.abc>0
B.9a+3b+c>0
C.a+b≥m(am+b)(m≠1的實數(shù))
D.方程ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù)根

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