Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，t）（t＞0），二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）當(dāng)t=12時(shí)，頂點(diǎn)D到x軸的距離等于；
（2）點(diǎn)E是二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），求OEEA的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；
（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點(diǎn)F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象于點(diǎn)M、N，連接DM、DN，當(dāng)△DMN≌△FOC時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：將y=0代入拋物線的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，

∵OA=4，

∴AE=4﹣（﹣b）=4+b．

∴OEAE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，

∴OEAE的最大值為4，此時(shí)b的值為﹣2，

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣2x．

（3）解：過D作DG⊥MN，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥CO，垂足為H．

∵△DMN≌△FOC，

∴MN=CO=t，DG=FH=2．

∵D（﹣ ，﹣ ），

∴N（﹣ + ，﹣ +2），即（ ， ）．

把點(diǎn)N和坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： =（ ）2+b（ ），

解得：t=±2 ．

∵t＞0，

∴t=2 ．

【解析】（1）當(dāng)t=12時(shí)，B（4，12）．

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，

∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣x．

∴y=（x﹣ ）2﹣ ．

∴D（ ， ）．

∴頂點(diǎn)D與x軸的距離為 ．

所以答案是： ．