Question

11．拋物線y=ax²+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P在拋物線上且位于x軸上方．
（1）如圖1，若P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），B（1，0）
①求拋物線的解析式；
②如圖2，連接PC，PB，求四邊形COBP的面積．
③若點D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標；
（2）如圖3，已知直線PA，PB與y軸分別交于F，E兩點，當點P運動時，$\frac{OF+OE}{OC}$是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；
②求出A、B、C的坐標，根據(jù)S_{四邊形COPB}=S_△POC+S_△POB計算即可．
③根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得D點坐標；
（2）作PQ⊥AB于Q點，設P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），則at²+c=0，c=-at²．由PQ∥OF，得 $\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，推出OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²，同理OE=-amt+at²．由此可得OE+OF=2at²=-2c=2OC，即可解決問題．

解答 解：（1）①將P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），B（1，0）代入y=ax²+c，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a+c=\frac{3}{4}}\\{a+c=0}\end{array}\right.$，解得-1$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+1，
②對于拋物線y=-x²+1，令x=0得y=1，令y=0得x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，1），
∴S_{四邊形COPB}=S_△POC+S_△POB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{8}$．
③如圖1，當點D在OP左側(cè)時，
由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，
∴D與P關(guān)于y軸對稱，
∵P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
當點D′在OP右側(cè)時，延長PD′交x軸于點G．
作PH⊥OB于點H，則OH=$\frac{1}{2}$，PH=$\frac{3}{4}$
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
設OG=x，則PG=x，HG=x-$\frac{1}{2}$．
在Rt△PGH中，由x²=（x-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3}{4}$）²得x=$\frac{13}{16}$．
∴點G（$\frac{13}{16}$，0）．
∴直線PG的解析式為y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{39}{20}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-\frac{12}{5}x+\frac{39}{20}}\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{19}{10}}\\{y=-\frac{261}{100}}\end{array}\right.$．
∵P（1，-3），
∴D（ $\frac{19}{10}$，-$\frac{261}{100}$）．
∴點D的坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（ $\frac{19}{10}$，-$\frac{261}{100}$）．

（2）點P運動時，$\frac{OE+OF}{OC}$是定值，定值為2，理由如下，
作PQ⊥AB于Q點，設P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），則at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²．
同理OE=-amt+at²．
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC．
∴$\frac{OE+OF}{OC}$=2．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題、二元二次方程組、平行線分線段成比例定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．