Question

如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF．

（1）試判斷BF與AE有什么樣的數(shù)量關系．并說明理由；

（2）若CD=2，求AF的長．

 

 

Answer 1

（1）BF=2AE．理由見解析；

（2）AF=2．

【解析】

試題分析：（1）判斷出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AD=BD，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AE，從而得解；

（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=CD，利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AF=FC．

試題解析：（1）BF=2AE．

理由如下：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，，

∴△ADC≌△BDF（ASA），

∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

（2）∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=2，

在Rt△CDF中，CF==2，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2．

考點：1.全等三角形的判定與性質2.等腰直角三角形．