Question

【題目】已知中，，，點、分別是軸和軸上的一動點．

(1)如圖，若點的橫坐標為，求點的坐標；

(2)如圖，交軸于，平分，若點的縱坐標為，，求點的坐標.

(3)如圖，分別以、為直角邊在第三、四象限作等腰直角和等腰直角，交軸于，若，求.

Answer 1

【答案】（1）B（0，-4）；（2）D（，0）；（3）12.

【解析】

（1）作CM⊥y軸于M，則CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90°，∠CBM=∠BAO，證△BCM≌△ABO，即可得出結論；

（2）作CM⊥y軸于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到B和C兩點的坐標，然后求BC的解析式，與x軸的交點就是點D，即可求出點D坐標；

（3）作EN⊥y軸于N，求出∠NBE=∠BAO，證△ABO≌△BEN，推出S△ABO =S△BEN，OB=NE=BF，證△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根據三角形面積公式得出S△NEM=S△BEM=S△BEN=S△ABO，即可得出答案．

解：（1）如圖，作CM⊥y軸于M，則CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90°，

∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM和△ABO中，

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，

∴B（0，-4）；

（2）如圖，作CM⊥y軸于M，

∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，∠OBA+∠BAO=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△CMB和△BOA中，

∴△CMB≌△BOA（AAS），

∴CM=BO，AO=BM，

∵點C的縱坐標為，A（，0），

∴MO=，OA=BM=，

∴CM=BO=BM-MO=2，

∴C（-2，），B（0，-2），

設BC的解析式為y=kx+b，則，解得：

∴

當y=0時，代入，

故點D的坐標為（，0）；

（3）如圖，作EN⊥y軸于N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，

∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠NBE=∠BAO，

在△ABO和△BEN中，

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴S△ABO =S△BEN，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，

∴在△BFM和△NEM中，

∴△BFM≌△NEM（AAS），

∴BM=NM，

∵△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，

∴S△MEN=S△BEM=S△BEN=S△ABO，

∴S△ABO=2S△MEN=2×6=12．