Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線經過A，B兩點，其中點A，C的坐標分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點為點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段FE的長度最大時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點E的坐標為（﹣，﹣）；（3）點P的坐標為（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或（﹣1+，﹣）．

【解析】

試題（1）首先依據等腰直角三角形的性質求得點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A和點B的坐標代入可求得直線AB的解析式，設點E的坐標為（t，t﹣1），則點F的坐標為（t，），然后列出EF關于t的函數(shù)關系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；

（3）過點F作直線a⊥EF，交拋物線與點P，過點E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″，先求得點E和點F的縱坐標，然后將點E和點F的縱坐標代入拋物線的解析式求得對應的x的值，從而可求得點P、P′、P″的坐標．

試題解析：（1）∵A，C的坐標分別為（1，0），（﹣4，0），∴AC=5．∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，∴BC=AC=5，∴B（﹣4，﹣5）．將點A和點B的坐標代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為．

（2）如圖1所示：

設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A和點B的坐標代入得：，解得：k=1，b=﹣1．

所以直線AB的解析式為y=x﹣1．設點E的坐標為（t，t﹣1），則點F的坐標為（t，），∴EF=﹣（t﹣1）==，∴當t=﹣時，FE取最大值，此時，點E的坐標為（﹣，﹣）．

（3）存在點P，能使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形．理由：如圖所示：過點F作直線a⊥EF，交拋物線與點P，過點E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″．

由（2）可知點E的坐標為（t，t﹣1），則點F的坐標為（t，），t=﹣，∴點E（﹣，﹣）、F（﹣，）．

①當=時，解得：x=﹣或x=﹣（舍去），∴點P的坐標為（﹣，）．

②當=﹣時，解得：x=﹣1+或x=﹣1﹣，∴點P′（﹣1﹣，﹣），P″（﹣1+，﹣）．

綜上所述，點P的坐標為（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或（﹣1+，﹣）．