Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x-2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OC=2OB．
（1）求線段BC的長度；
（2）如果點(diǎn)D在直線AB上，且以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可先求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合OC=2OB，可求得BC的長度；
（2）分BC為邊和對角線，①當(dāng)BC為邊時(shí)有兩種情況，BD為邊或BD為對角線，當(dāng)BD為邊時(shí)，則BD=BC，可先求得D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)DE∥BC且DE=BC可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)BD為對稱線時(shí)，則四邊形為正方形，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)BC為對角線時(shí)，則DE為BC的垂直平分線，可先求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用對稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)

解答 解：
（1）∵直線y=x-2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，-2），
∴OB=2，
∵OC=2OB，
∴OC=4，點(diǎn)C（0，4），
∴BC的長度是6；
（2）①當(dāng)BC為邊時(shí)，有兩種情況，BD為邊或BD為對稱線，
當(dāng)BD為邊時(shí)，則有BD=BC=6，
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-2），則$\sqrt{{x}^{2}+（x-2+2）^{2}}$=6，解得x=3$\sqrt{2}$或x=-3$\sqrt{2}$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$-2）或（-3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$-2），
∵DE=BC=6，且DE∥BC，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（$3\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$+4）或（$-3\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+4）；
當(dāng)BD為對角線時(shí)，則∠CBD=∠EBD=45°，如圖1，

則∠EBC=90°，
∴四邊形BCDE為正方形，
∴BE=BC=6，且BE∥x軸，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-2）；
②當(dāng)BC為對角線時(shí)，則有DE⊥BC，如圖2，

設(shè)BC與DE交于點(diǎn)F，則F為BC的中點(diǎn)，
∴F（0，1），
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，代入直線AB解析式可得1=x-2，解得x=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
又D、E關(guān)于BC對稱，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1）；
綜上可知點(diǎn)E的坐標(biāo)可以為（$3\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$+4）或（$-3\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+4）或（6，-2）或（-3，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查菱形的性質(zhì)及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，在（2）中確定出D點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．