Question

已知：在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．
（1）求∠BAD的度數(shù)；
（2）若AD的長為2，求BE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）由垂徑定理證明△ADC為等邊三角形，這是解決本題的關(guān)鍵結(jié)論；進(jìn)而得到∠DAC=60°；證明∠BAD=∠BAC，即可解決問題．
（2）運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系求出AE、DE的長，直接運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，
∴

BC

=

BD

，DE=CE，AB為CD的垂直平分線，
∴AC=AD；而CO⊥AD，
∴AF=DF，CF為AD的垂直平分線，
∴AC=DC，
∴AD=AC=DC，△ADC為等邊三角形，
∴∠DAC=60°，而

BC

=

BD

，
∴∠BAD=∠BAC=

1

2

∠DAC=30°．
（2）如圖，∵∠DAE=30°，AD=2，
∴DE=1；CE=DE=1；
∵cos30°=

AE

AD

，
∴AE=

3

；由相交弦定理得：AE•BE=DE•CE，
∴BE=

DE•CE

AE

=

1×1

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了垂徑定理、勾股定理、相交弦定理、等邊三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察探究、大膽猜測推理、科學(xué)求解論證．