Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊BC上，且BQ=x，AP=2x（0＜x＜5），連接PQ．
（1）設(shè)△BPQ的面積為y，當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△BPQ與△ABC相似．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）過(guò)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，利用x表示出PD，則可表示出△BPQ的面積，再利用二次函數(shù)求得其最大值；
（2）利用x表示出BQ和BP，分∠PQB=90°和∠QPB=90°分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得x．

解答：解：（1）過(guò)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
又∵BQ=x，AP=2x，
∴PB=10-2x，
∵PD∥AC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

，
即

PD

6

=

10-2x

10

，
∴PD=6-

6x

5

，
∴y=

1

2

BQ•PD=

1

2

x（6-

6

5

x）=-

3

5

x²+3x，
該二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)x=

5

2

時(shí)y有最大值，最大值為

15

4

；
（2）∵∠PBQ=∠CBA，∠C=90°，
∴當(dāng)△BPQ與△ABC相似時(shí)有兩種情況，
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，則有

BP

AB

=

BQ

BC

，即

10-2x

10

=

x

8

，解得x=

40

13

；
②當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，則有

BP

BC

=

BQ

AB

，即

10-2x

8

=

x

10

，解得x=

25

7

；
綜上可知，當(dāng)x為

40

13

或

25

7

時(shí)，△BPQ與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．