【題目】如圖1所示,已知拋物線y=-x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),E為對稱軸上的一點(diǎn),連接CE,將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在y軸上.

(1)直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)F為直線C′E與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)H是拋物線上C與F之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若過點(diǎn)H作直線HG與y軸平行,且與直線C′E交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m(0<m<4),那么當(dāng)m為何值時(shí),SHGF:SBGF=5:6?

(3)圖2所示的拋物線是由y=-x2+4x+5向右平移1個(gè)單位后得到的,點(diǎn)T(5,y)在拋物線上,點(diǎn)P是拋物線上O與T之間的任意一點(diǎn),在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q,使PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1) D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3).(2) m1=,m2=.(3) (1,1)或(3,3)或(2,2).

【解析】

試題分析:(1)首先根據(jù)拋物線y=-x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少即可;然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,n),根據(jù)CEC是等腰直角三角形,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)是多少即可.

(2)令拋物線y=-x2+4x+5的y=0得:x2-4x-5=0可求得A、B的坐標(biāo),然后再根據(jù)SHGF:SBGF=5:6,得到:,然后再證明HGM∽△ABN,,從而可證得,所以HG=5,設(shè)點(diǎn)H(m,-m2+4m+5),G(m,m+1),最后根據(jù)HG=5,列出關(guān)于m的方程求解即可;

(3)分別根據(jù)P、Q、T為直角畫出圖形,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.

試題解析:(1)拋物線y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9

D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9);

E為對稱軸上的一點(diǎn),

點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是:-=2,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,n),

將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在y軸上,

∴△CEC是等腰直角三角形,

解得(舍去),

點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1).

綜上,可得D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3).

(2)如圖1所示:

令拋物線y=-x2+4x+5的y=0得:x2-4x-5=0,

解得:x1=-1,x2=5,

所以點(diǎn)A(-1,0),B(5,0).

設(shè)直線CE的解析式是y=kx+b,將E(2,3),C(0,1),代入得

解得:,

直線CE的解析式為y=x+1,

將y=x+1與y=-x2+4x+5,聯(lián)立得:

解得:,,

點(diǎn)F得坐標(biāo)為(4,5),點(diǎn)A(-1,0)在直線CE上.

直線CE的解析式為y=x+1,

∴∠FAB=45°

過點(diǎn)B、H分別作BNAF、HMAF,垂足分別為N、M.

∴∠HMN=90°,ADN=90°

∵∠NAD=HNM=45°

∴△HGM∽△ABN

,

SHGF:SBGF=5:6,

,即,

HG=5.

設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為-m2+4m+5,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,m+1),

-m2+4m+5-(m+1)=5.

解得:m1=,m2=

(3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4(x-1)+5=-x2+6x.

將x=5代入y=-x2+6x得:y=5,

點(diǎn)T的坐標(biāo)為(5,5).

設(shè)直線OT的解析式為y=kx,將x=5,y=5代入得;k=1,

直線OT的解析式為y=x,

如圖2所示:當(dāng)PTx軸時(shí),PTQ為等腰直角三角形,

將y=5代入拋物線y=-x2+6x得:x2-6x+5=0,

解得:x1=1,x2=5.

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5).

將x=1代入y=x得:y=1,

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1).

如圖3所示:

可知:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5).

∵△PTQ為等腰直角三角形,

點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3,

將x=3代入y=x得;y=3,

點(diǎn)Q得坐標(biāo)為(3,3).

如圖4所示:

設(shè)直線PT解析式為y=kx+b,

直線PTQT,

k=-1.

將k=-1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,

直線PT的解析式為y=-x+10.

將y=-x+10與y=-x2+6x聯(lián)立得:x1=2,x2=5

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.

將x=2代入y=x得,y=2,

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2).

綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(3,3)或(2,2).

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