Question

12．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連結(jié)AD、BD、BE．
（1）在不添加其他字母和線(xiàn)的前提下，直接寫(xiě)出圖1中的兩對(duì)相似三角形．△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB
（2）直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若拋物線(xiàn)y=ax²-2ax-3a（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D，且B為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
①寫(xiě)出A的坐標(biāo)（3，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）（1，-4a）．
②求拋物線(xiàn)的解析式．
③在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)P：過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理知：∠ADB=90°，首先可聯(lián)想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一對(duì)相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；
（2）①令y=0，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，用公式法或配方法均能求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，易求得B、D、A的坐標(biāo)，也就得到了OA、OD、CD、BC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）得出的相似三角形，即可根據(jù)對(duì)應(yīng)的成比例線(xiàn)段求出a的值，也就能求出拋物線(xiàn)的解析式；
③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN與△OAD相似，則△PAN也必須是等腰Rt△；可根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)PN=AN的條件來(lái)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（注意P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍）

解答 解：（1）如圖1，∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠CDB，
∵∠C=∠O=90°，
∴△OAD∽△CDB，
∵∠BAD=∠BED，
∠C=∠ADB，
∴△ADB∽△ECB；
故答案為：△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；

（2）①A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4a）
故答案為：（3，0），（1，-4a）；

②∵△OAD∽△CDB
∴$\frac{DC}{OA}$=$\frac{CB}{OD}$，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又∵OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴$\frac{1}{-3a}$=$\frac{-a}{3}$，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1；
故拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+2x+3；

③存在，
設(shè)P（x，-x²+2x+3），
如圖2，∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形，
∴PN=AN，
當(dāng)x＜0（x＜-1）時(shí)，-x+3=-（-x²+2x+3），
解得：x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5），
當(dāng)x＞0（x＞3）時(shí)，x-3=-（-x²+2x+3），
解得：x₁=0，x₂=3；（都不合題意舍去）
符合條件的點(diǎn)P為：（-2，-5）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角梯形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，正確利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論分析是解題關(guān)鍵．