Question

4．如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：①△ABE≌△ADF；②∠AEB=65°；③CE=CF；④$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}$；⑤S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$．其中正確的序號(hào)是①③⑤（把你認(rèn)為正確的都填上）．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷②；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)判斷③；根據(jù)正弦的概念判斷④；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)勾股定理求出a的值，計(jì)算正方形的面積，判斷⑤．

解答 解：在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，①正確，；
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=（90°-60°）÷2=15°，
∴∠AEB=75°，②錯(cuò)誤；
∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，又BC=DC，
∴CE=CF，③正確；
∵sin∠BAE=$\frac{BE}{AE}$，∠BAE=15°，又sin15°≠$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AE}$≠$\frac{1}{3}$，即$\frac{BE}{EC}$≠$\frac{1}{3}$，④錯(cuò)誤；
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
在Rt△ECF中，CE=CF，EF=2，
∴CE=CF=$\sqrt{2}$，
則DF=a-$\sqrt{2}$，
在Rt△ADF中，AF²=AD²+DF²，
即4=a²+（a-$\sqrt{2}$）²，
解得，a₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，a₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
則a²=（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$）²=2+$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$，⑤正確，
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角都是直角，等邊三角形的三條邊相等、三個(gè)角都是60°是解題的關(guān)鍵．