Question

7．如圖，A、B兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，A、B兩個單位到街道的距離AC=48米、BD=24米，A、B兩個單位的水平距離CE=96米，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一座與街道垂直的過街天橋．
（1）天橋建在何處才能使由A到B的路線最短？
（2）天橋建在何處才能使A、B到天橋的距離相等？分別在圖1、圖2中作圖說明（不必說明理由）并通過計算確定天橋的具體位置．

Answer 1

分析 （1）如圖1，在直線BD上截取BB′=DE，連接AB′，交CE于F，則點F就是天橋所建位置，依據(jù)是兩邊之和大于第三邊；
（2）如圖2，平移B點至B’使BB′=DE，連接AB′交CE于F，作線段AB′的中垂線交CE于P，在此處建橋可使A、B到天橋的距離相等；根據(jù)線段垂直平分線定理和平行四邊形對邊相等可得AP=BQ；
證明△ACF∽△POF，得$\frac{PF}{AF}=\frac{OF}{CF}$，設(shè)CP=x，代入計算可求出x的值，即CP=39米，得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，平移B點至B′，使BB′=DE，連接AB′交CE于F，在此處建橋可使由A到B的路線最短；
此時易知AB′∥BG，
∴△ACF∽△BDG，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{BD}{DG}$，
設(shè)CF=x，則GD=96-x，
∴$\frac{48}{x}=\frac{24}{96-x}$，
解得x=64，
即CF=64米，
∴將天橋建在距離C點64米處，可使由A到B的路線最短；
（2）如圖2，平移B點至B’使BB′=DE，連接AB′交CE于F，作線段AB′的中垂線交CE于P，在此處建橋可使A、B到天橋的距離相等；
此時易知AB′∥BQ，另OP為AB′中垂線，
∴△ACF∽△POF，
∴$\frac{PF}{AF}=\frac{OF}{CF}$，
設(shè)CP=x，則PF=CF-x，
由（1）得CF=64，
∴PF=64-x；
在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=80，
∵AC∥BE，
∴$\frac{CF}{FE}=\frac{AF}{FB′}$=$\frac{64}{96-64}$=$\frac{2}{1}$，
∴FB′=40，
又O為AB′中點，
∴FO=20，
∴$\frac{64-x}{80}=\frac{20}{64}$，
解得x=39，即CP=39米，
∴將天橋建在距離C點39米處，可使由A到B的路線最短．

點評 本題是作圖題，作最短路徑和相等路徑；根據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊或兩點之間線段最短來作圖；本題的具體作法是：利用平移的方法將點A和B及天橋的始點移到同一直線上，運用了平行四邊形的對邊相等，也利用相似三角形對應(yīng)邊的比列式求出線段的長．