Question

【題目】如圖四邊形ABCD ， AD∥BC ， AB⊥BC ， AD=1，AB=2，BC=3，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PD ， PC為邊作平行四邊形PCQD ， 則對(duì)角線PQ的長(zhǎng)的最小值是（　　）
A.3
B.4
C.5
D.6

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)O ， 則O是DC的中點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC ， 交BC的延長(zhǎng)線于H ，

∵AD∥BC ，
∴∠ADC=∠DCH ， 即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH ，
∵PD∥CQ ，
∴∠PDC=∠DCQ ，
∴∠ADP=∠QCH ，
又∵PD=CQ ，
在Rt△ADP與Rt△HCQ中，
∠ADP＝∠QCH
∠A＝∠QHC
PD＝CQ
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC ，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4 ．
故選B.
分析：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G ， 可得G是DC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC ， 交BC的延長(zhǎng)線于H ， 易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ ， 即可求得BH=4，則可得當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4；
【考點(diǎn)精析】掌握梯形的中位線是解答本題的根本，需要知道梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半．