Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)點(diǎn)B，C），過(guò)點(diǎn)D作∠ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1

【解析】

(1)首先根據(jù)等腰直角三角形的兩個(gè)底角都是45,得到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等;再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,從而證明∠EDC=∠BAD,根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,得到兩個(gè)三角形相似;

(2)根據(jù)等腰三角形的定義,此題要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三種情況進(jìn)行分析討論.

（1）證明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C=45°．

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．

又∵∠ADE=45°，

∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．

∴∠EDC=∠BAD．

∴△ABD∽△DCE．

（2）解：討論：①若AD=AE時(shí)，∠DAE=90°，此時(shí)D點(diǎn)與點(diǎn)B重合，不合題意．

②若AD=DE時(shí)，△ABD與△DCE的相似比為1，此時(shí)△ABD≌△DCE，

于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2

③若AE=DE，此時(shí)∠DAE=∠ADE=45°，

如下圖所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三線合一可知：AE=CE=AC=1．