Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2CE，將矩形沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′、D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B、C′、D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】4 或4﹣
【解析】解：由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE， ∵點(diǎn)B、C′、D′在同一直線上，
∴∠BC′E=90°，
∵BC=6，BE=2CE，
∴BE=4，C′E=CE=2，
在Rt△BC′E中， =2，
∴∠C′BE=30°，①當(dāng)點(diǎn)C′在BC的上方時(shí)，
如圖1，過(guò)E作EG⊥AD于G，延長(zhǎng)EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，

∴EG=AB=3，AG=BE=4，
∵∠C′BE=30°，∠BC′E=90°，
∴∠BEC′=60°，
由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF=′CEF，
∴∠C′EF=∠CEF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠HFE=∠CEF=60°，
∴△EFH是等邊三角形，
∴在Rt△EFG中，EG=3，
∴GF= ，
∴AF═4+ ，②當(dāng)點(diǎn)C′在BC的下方時(shí)，如圖2，

過(guò)F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四邊形ABGF是矩形，△EFH是等邊三角形，
∴AF=BG，F(xiàn)G=AB=3，∠FEH=60°，
在Rt△EFG中，GE= ，
∵BE=4，
∴BG=4﹣ ，
∴AF=4﹣ ，
綜上所述，AF的長(zhǎng)是4 或4﹣ ．
所以答案是：4 或4﹣ ．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等)，還要掌握翻折變換（折疊問(wèn)題）(折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．