Question

【題目】如圖，平分，且，垂足分別是，連結(jié)與交于點(diǎn)．

（1）求證：是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；

（2）若，求的周長(zhǎng)和四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），

【解析】

（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理證明點(diǎn)E，點(diǎn)O都在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上，即可得到是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；

（2）先證明△OCD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出周長(zhǎng)及面積．

（1）證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴CE=DE，

∴點(diǎn)E是在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上．

在Rt△OCE和Rt△ODE中，

，

∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，

∴OC=OD，

∴點(diǎn)O是在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上，

∴OE是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)．

（2）解：∵∠ECD=30°，∠OCE=90°，

∴∠OCD=60°．

∵OC=OD，

∴△OCD是等邊三角形．

∵OC=，

∴△OCD的周長(zhǎng)為3

∵∠OCD=60°，

∴∠COE=30°，

∴OE=2CE．

設(shè)CE=x，則OE=2x．

由勾股定理，得(2x)2=x2＋()2，

解得：x=1，即CE=1，

∴四邊形OCED的面積=2S△OCE=2×·OC·EC==