Question

19．問題再現：
如圖1：△ABC中，AF為BC邊上的中線，則S_△ABF=S_△ACP=$\frac{1}{2}$S_△ABC
由這個結論解答下列問題：
問題解決：
問題1：如圖2，△ABC中，CD為AB邊上的中線，BE為AC邊上的中線，則S_△BOC=S_{四邊形ADOE}．
 分析：△ABC中，CD為AB邊上的中線，則S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，BE為AC邊上的中線，則S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∴S_△BCD=S_△ABE
∴S_△BCD-S_△BOD=S_△ABE-S_△BOD
又∵S_△BOC=S_△BCD-S_△BOD，S_{四邊形ADOE}=S_△ABE-S_△BOD
即S_△BOC=S_{四邊形ADOE}
問題2：如圖3，△ABC中，CD為AB邊上的中線，BE為AC邊上的中線，AF為BC邊上的中線．
（1）S_△BOD=S_△COE嗎？請說明理由．
（2）請直接寫出△BOD的面積與△ABC的面積之間的數量關系：S_△BOD=$\frac{1}{6}$S_△ABC．
問題拓廣：
（1）如圖4，E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形ABCD的面積之間的數量關系：S_陰=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}．
（2）如圖5，E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AD、BC、AB、CD的中點，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形ABCD的面積之間的數量關系：S_陰=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}．
（3）如圖6，E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AD、BC、AB、CD的中點，
若S_△AME=1、S_△BNG=1.5、S_△CQF=2、S_△BFH△DFH=2.5，則S_陰=7．

Answer 1

分析 問題解決：（1）只要找準了圖形的間的底邊和底邊之間的關系，高和高之間的關系，再根據面積公式來計算就不難理解其中的規(guī)律了；
（2）只要找準了圖形的間的底邊和底邊之間的關系，高和高之間的關系，三角形的三條中線的交點分每條中線成1：2關系，再根據面積公式來計算就不難理解其中的規(guī)律了；
問題拓廣：
（1）借助問題再現的結論S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC即可，
（2）借助問題解決（1）中的結論S_△BOD=S_△COE即可；
（3）借助問題解決（1）中的結論S_△BOD=S_△COE即可；

解答 解：問題2：：S_△BOD=S_△COE成立，
理由：∵△ABC中，CD為AB邊上的中線，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵BE為AC邊上的中線，
∴S_△CBE=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∴S_△BCD=S_△CBE
∵S_△BCD=S_△BOD+S_△BOC，S_△CBE=S_△COE+S_△BOC
∴S_△BOD=S_△COE
（2）由（1）有S_△BOD=S_△COE，
同（1）方法得，S_△BOD=S_△AOD，
S_△COE=S_△AOE，
S_△BOF=S_△COF，
∴S_△BOD=S_△COE=S_△AOE=S_△AOD，
∵點O是三角形三條中線的交點，
∴OA=2OF，
∴S_△AOC=2S_△COF=S_△AOE+S_△COE=2S_△COE，
∴S_△COF=S_△COE，
∴S_△BOD=S_△COE=S_△AOE=S_△AOD=S_△BOF=S_△COF，
∴S_△BOD=$\frac{1}{6}$S_△ABC，
故答案為$\frac{1}{6}$
問題拓廣：
（1）如圖4：

連接BD，由問題再現：
S_△BDE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△BCD，
∴S_陰影=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
故答案為 $\frac{1}{2}$，
（2）如圖5：

連接BD，由問題解決：
S_△BMD=$\frac{1}{3}$S_△ABD，S_△BDN=$\frac{1}{3}$S_△BCD，
∴S_陰影=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}，
故答案為$\frac{1}{3}$；
（3）如圖6，

連接AC，BD
由上面的結論得
∵G是四邊形ABCD的邊AB的中點，
∴S_△AGC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△BGC=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∵H是四邊形ABCD的邊CD的中點
∴S_△AHC=$\frac{1}{2}$S_△ACD，S_△AHD=$\frac{1}{2}$S_△ACD
∴S_{四邊形AGCH}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}
同樣的方法得到S_{四邊形BFDE}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}
∴S_{四邊形AGCH}=S_{四邊形BFDE}
∴S_{四邊形AGCH}=S_△ABE+S_△DFC
∴S_陰=S₁+S₂+S₃+S₄=1+1.5+2+2.5=7．
故答案為7．

點評 此題是面積與等積變形問題，集中考查了三角形的面積公式，解本題的關鍵是面積之間的轉化．