Question

5．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C＜90°．點E、F分別是BC、CD上的動點，滿足：△AEF的周長最�。�
（1）請在圖中作出E、F（要求保留痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若∠C=45°，且∠AEB=60°，請求$\frac{AF}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）延長AB到A'，使BA'=AB，則A'就是A關于BC的對稱點，同法可以作出A關于CD的對稱點A''，連接A'A''與CD和BC的交點就是E和F；
（2）根據對稱的性質可得△AEA₁和△AA₂F是等腰三角形，證得△AEF是直角三角形，利用三角形的性質求解．

解答 解：（1）如圖所示．
；
（2）在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°．
∴∠BAD=135°．
∵∠AEB=60°．
∴∠A₁=∠BAE=30°．
在△A₁AA₂中，由內角和定理得：∠A₂=15°，∠A₂AE=105°．
∴∠EAF=90°且∠AFE=30°．
∴在Rt△AEF中，EF=2AE．
∴$\frac{AF}{AE}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了軸對稱的性質以及作圖，正確證明△AEF是直角三角形是關鍵．