Question

19．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（$a+\frac{k}$，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”．
（1）①點(diǎn)P（-2，1）的“2屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-3）；
②若點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（4，2），請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，1）；
（2）若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)P′，且△OPP′為等腰直角三角形，則k的值為±1．

Answer 1

分析 （1）①只需把a(bǔ)=-2，b=1，k=2代入（a+$\frac{k}$，ka+b）即可求出P′的坐標(biāo)．
②由P′（4，2）可求出k=$\frac{1}{2}$，從而有a+2b=4．任取一個(gè)a就可求出對(duì)應(yīng)的b，從而得到符合條件的點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0），從而有P′（a，ka），顯然PP′⊥OP，由條件可得OP=PP′，從而求出k．

解答 解：（1）①點(diǎn)P（-2，1）的“2屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（-2+$\frac{1}{2}$，-2×2+1），即（-$\frac{3}{2}$，-3），
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-3）；
②由題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{k}=4}\\{ka+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，
∴a+2b=4，
當(dāng)b=1時(shí)，a=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），
故答案為：（2，1）；

（2）∵點(diǎn)P在x軸的正半軸上，
∴b=0，a＞0．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′為等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案為：±1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等腰直角三角形，弄清題中的新定義及等腰直角三角形的定義是解本題的關(guān)鍵．