Question

【題目】如圖，等腰△ABC內接于半徑為5的⊙O，AB=AC，BC=8．

（1）如圖1，連結OA．

①求證：OA⊥BC；

②求腰AB的長．

（2）如圖2，點P是邊BC上的動點（不與點B，C重合），∠APE=∠B=∠C，PE交AC于E．

①求線段CE的最大值；

②當AP=PC時，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②2；（2）①CE的最大值為；②BP=.

【解析】

（1）①由AB=AC，得，故OA⊥BC；②連結OB，設OA交BC于D．由垂徑定理可得

BD=CD=BC=4．再利用勾股定理可得AB=．（2）先證△ABP∽△PCE，得．設BP=x，CE=y，則PC=8-x，可得，可得y=，可求出函數的最值；②證△APC∽△BAC，得，可得PC=，故BP=BC-PC.

解：（1）①∵AB=AC，

∴，

∴OA⊥BC

②連結OB，設OA交BC于D．

∵OA⊥BC ，

∴BD=CD=BC=4．

∴OD==3，

∴AD=OA-OD=5-3=2，

∴AB=．

（2）①∵∠APE=∠B=∠C，

∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPE，

∴∠BAP=∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴．

設BP=x，CE=y，則PC=8-x，

∴，

∴y=

∴當x=4時，ymax=，即CE的最大值為

②∵AP=PC，

∴∠PAC=∠C=∠B，

∴△APC∽△BAC，

∴，

∴，

∴PC=，

∴BP=BC-PC=