Question

【題目】閱讀探索

問題背景：著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次”談話“的語言.2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖注》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1所示）.勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積進(jìn)行了證明.

趙爽證明方法如下：

以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于，把這四個直角三角形拼成如圖1所示形狀.

∵Rt△DAE≌Rt△ABF

∴∠EDA=∠FAB

∵∠EAD+∠EDA=90°

∴∠FAB+∠EAD=90°

∴四邊形ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于

∵EF=FG=GH=HE=b-a

∠HEF=90°

∴四邊形EFGH是一個邊長為b-a的正方形，它的面積等于

∴

∴ 從而證明了勾股定理.

思維拓展：

1、如果大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么的值為 .

2、美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德也曾經(jīng)給出了勾股定理的一種證明方法，如圖2所示，

他用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼出了一個直角梯形，請你利用此圖形驗(yàn)證勾股定理.

證明：∵直角梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示：

第一種方法表示為：

第二種方法表示為：

∴ =

∴

探索創(chuàng)新：

用紙做成四個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形（不同于上面圖1和圖2）.請畫出你拼成的圖形，并用你畫的圖形證明勾股定理.

Answer 1

【答案】思維拓展：1、25；2、ab+ab+c2，（a+b）（a+b），ab+ab+c2，（a+b）（a+b）；探索創(chuàng)新：見詳解.

【解析】

思維拓展：1、根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值，原式利用完全平方公式化簡后代入計(jì)算即可求出值；

2、用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．

探索創(chuàng)新：把四個全等的直角三角形的斜邊首尾相接，可拼成所需圖案，分別用兩種方法計(jì)算大正方形的面積，從而可得結(jié)果.

思維拓展：1、解：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13-1=12，即2ab=12，
則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故答案為：25．

2、解：此圖可以看成有三個直角三角形的面積和，面積分別為ab，ab和c2，

因此圖形面積為ab+ab+c2，

還可以看成一個直角梯形，其面積為（a+b）（a+b），

∴ab+ab+c2=（a+b）（a+b）.

探索創(chuàng)新：解：如圖所示，

證明：∵大正方形的面積可表示為（a+b）2，
大正方形的面積也可表示為：c2+4×ab，
∴（a+b）2=c2+4×ab，
即a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．